矩阵的秩

在此,我想和大家探讨一下矩阵的本质。

首先

要说一下矩阵的本质是什么。

一句话总结:矩阵是一种操作。

对谁的操作呢?是对向量的操作。学习线性代数前,我们一直在实数的范畴考虑问题,学习线性代数后,就应该以向量(也就是一组数)作为考虑问题的基本单元。

考虑二维向量的集合。可以直观地看到,二维平面中点的集合就等同于二维向量的集合。

矩阵A乘以向量b,可以得到另一个向量c。若向量b,c均是二维,矩阵A就可以看做一个对二维向量的操作。

矩阵不满秩有两种情况(讨论行不满秩):

一,某一行或者列为零。二,某两行或者多行线性相关。

一:讨论某行为零

这时可以发现,如果向量b两个元素全都不是零,而矩阵A没有0行,则向量c两个元素一定都不是0。

如果矩阵A仅有一个非零行,则向量c必有一个元素为零,另一个非零。

如果矩阵A没有非零行,则向量c为零向量。

这时候,你可以理解为,一个有零行的矩阵,会对一个向量构成一种”降维”的操作。

对于n维向量b,元素均不为零,若前面乘以n维,非零行数为m的矩阵A,计算出的向量c中有n-m个零。

二:讨论线性相关:

若矩阵A某两行线性相关,则这两行分别乘以向量b,得到的两个元素必为k倍的关系。

想象整个空间中所有向量都被矩阵A乘在前面,那么,得到的新的向量,全部都有两个元素成k倍的关系,在二维空间中,就是整个二维平面经过操作后,所有向量都在y=kx直线上。这也可以看做一种“降维”。相应的,n维空间,经过秩为m的矩阵操作。得到的新向量有n-m个元素满足方程约束,新向量的集合构成一个维度小于n的空间。

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明:
  AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
  |AB O|
  |O En|
  A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有
  |AB A|
  |0 En|
  右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
  |0 A |
  |-B En|
  所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
  即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注:这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。

特别的:A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

(9)若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。

转载自:公众号【听说你想学- 七分去冰】


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