MATLAB 积分

积分处理两种本质上不同类型的问题:

  • 第一种类型:函数的导数是已知的,我们想求出这个函数。因此,我们基本上逆转了微分的过程。这个逆向过程被称为反微分,或求原函数,或求不定积分
  • 第二种类型:将大量非常小的量相加,然后当这些量的大小趋于0时取极限,而项的数量趋于无穷。这个过程引出了定积分的定义。

定积分用于求面积、体积、重心、转动惯量、力所做的功,以及其他许多应用


用MATLAB求不定积分

根据定义,如果函数f(x)的导数是f'(x),那么f'(x)关于x的不定积分就是f(x)。

例如,由于 x2  关于x的导数是2x,我们可以说2x的不定积分是 x2:

f'(x2) = 2x,那么∫ 2xdx = x2

不定积分不是唯一的,因为 x2 + c 的导数,对于任意常数c,也是2x,即:

∫ 2xdx = x2 + c

其中,c称为“任意常数”。

MATLAB提供了一个int命令来计算表达式的积分。为了推导一个函数的不定积分表达式,我们写:


int(f);

比如,前面的例子


syms x 
int(2*x)
% 结果:
ans =
   x^2

实例1

在这个例子中,我们来求一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件,并在其中键入以下代码:


syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

运行:


ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

实例2

创建脚本文件:


syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

注意,pretty函数以可读性更好的格式返回表达式。

运行:


ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2


用MATLAB求定积分

根据定义,定积分基本上是和的极限。我们使用定积分来求面积,如曲线与x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定积分也可用于其他情况,其中所需的数量可以表示为求和的极限。

int函数可以通过通过你想要计算积分的极限来用于定积分。

要计算:

求定积分

int(x, a, b)

又如计算:

求定积分

int(x, 4, 9)
% 结果:
ans =
   65/2

实例1

我们计算x轴和曲线 y = x3−2x+5 以及纵坐标x = 1和x = 2之间的面积:

曲线 y = x3−2x+5 以及纵坐标x = 1和x = 2之间的面积

创建脚本文件:


f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));
% 结果:
a =
23/4
Area: 
   5.7500

实例2

求曲线下的面积: f(x) = x2 cos(x) for −4 ≤ x ≤ 9.

创建脚本文件:


f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

结果:

f(x) = x2 cos(x) 函数图

输出如下所示 :


a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326






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