MATLAB 微分

MATLAB函数求导

MATLAB提供了diff命令来计算符号导数。在最简单的形式中,将希望微分的函数作为参数传递给diff命令。

例如,计算函数 f(t) = 3t2 + 2t-2的导数 :

创建一个脚本文件


syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)
% 结果:
syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

Octave等效的上述计算


pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)
% 结果
ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

微分基本规则的验证

让我们简述函数微分的各种方程或规则,并验证这些规则。为此,我们将一阶导数写成 f'(x) 二阶导数写成 f”(x) 

下面是微分的规则 :

规则1

对于任何函数f和g以及任何实数a和b都是函数的导数:

h(x) = af(x) + bg(x) 关于x的导数是 :h'(x) = af'(x) + bg'(x)

规则2

加法和减法规则:如果f和g是两个函数,f’和g’分别是它们的导数,那么:

  • (f + g)’ = f’ + g’
  • (f – g)’ = f’ – g’

规则3

乘积法则申明,如果f和g是两个函数,f’和g’分别是它们的导数, 那么:

(f.g)’ = f’.g + g’.f

规则4

除法定则表明,如果f和g是两个函数,f’和g’分别是它们的导数, 那么:

(f/g)’ = (f’.g – g’.f)/g2

规则5

多项式初等幂规则表明, 如果y = f(x) = xn ,那么f’ = n. x(n-1)

这个规则的一个直接结果是任何常数的导数都是零。,如果y = k,任意常数,则:

f’ = 0

规则6

链式法则表明,函数h(x) = f(g(x))关于x的导数为:

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

实例

创建脚本:


syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

结果:


f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

指数、对数和三角函数的导数

下表给出了常用的指数、对数和三角函数的导数

函数导数
ca.xca.x.ln c.a (ln是自然对数)
exex
ln x1/x
lncx1/x.ln c
xxxx.(1 + ln x)
sin(x)cos(x)
cos(x)-sin(x)
tan(x)sec2(x), 或 1/cos2(x), 或 1 + tan2(x)
cot(x)-csc2(x), 或 -1/sin2(x), 或 -(1 + cot2(x))
sec(x)sec(x).tan(x)
csc(x)-csc(x).cot(x)

实例


syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

结果:


y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

计算高阶导数

为了计算函数f的高阶导数,我们使用diff(f,n)语法。

我们来计算函数 y = f(x) = x .e-3x 的二阶导数:


f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)
% 结果:
ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

实例

在这个例子中,让我们来解决一个问题。已知函数y = f(x) = 3sinx + 7cos5x。我们必须找出方程f” + f = -5cos(2x)是否成立。

创建脚本文件:


syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % 定义函数
lhs = diff(y,2)+y;        % 求方程的lhs值
rhs = -5*cos(2*x);        % 方程的rhs
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

结果:


No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

求曲线的最大值和最小值

如果我们在寻找一个图的局部极大值极小值,我们基本上就是在寻找这个函数在图上某一特定位置的最高点最低点,或者符号变量的某一特定范围的值。

对于函数y = f(x),图上斜率为0的点称为平稳点。也就是说,f'(x) = 0处是平稳点。

为了找到我们微分的函数的平稳点,我们需要让导数等于零,然后解这个方程。

实例

求函数 f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 17 的平稳点

采取以下步骤 :

首先让我们输入函数并绘制它的图形:


syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

结果:

y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17

我们的目标是找到图上的一些局部极大值和极小值,所以让我们找到图上区间[- 2,2]的局部极大值和极小值。


syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

结果:

局部极大值和极小值

接下来,对函数进行求导:


g = diff(y)
% 结果:
g =
   6*x^2 + 6*x - 12

我们来解导函数g,来获得它等于0时的值:


s = solve(g)
% 结果:
s =
   1
   -2

这与我们的计划一致。我们求出函数f在临界点x = 1, -2处的值。我们可以使用subs命令替换符号函数中的值。


subs(y, 1), subs(y, -2)
% 结果:
ans =
   10
ans =
   37

因此,函数f(x) = 2×3 + 3×2−12x + 17在[-2,2]区间内的最小值和最大值分别为1037


求解微分方程式

MATLAB提供了符号求解微分方程的dsolve命令。

求单个方程的解的dsolve命令的最基本形式是:


dsolve('eqn') 

其中eqn是用于输入方程的文本字符串 。

它返回带有一组任意常数的符号解,MATLAB将这些常数标记为C1、C2等等。
还可以为问题指定初始条件和边界条件,如在等式后面的逗号分隔列表:


dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)  

为了使用dsolve命令,导数用d表示。例如,  f'(t) = -2*f + cost(t) 这样的方程被输入为:

‘Df = -2*f + cos(t)’

高阶导数用D后面的导数的阶表示。

例如,公式f”(x) + 2f'(x) = 5sin3x应该输入为:

‘D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)’

让我们举一个一阶微分方程的简单例子:y’ = 5y


s = dsolve('Dy = 5*y')
% 结果:
s =
   C2*exp(5*t)

我们再举一个二阶微分方程的例子:y” – y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 2


dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')
% 结果:
ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2





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