MATLAB 代数


到目前为止,我们已经看到了所有的示例都可以在MATLAB以及它的GNU(又称Octave)中工作。但是为了解决基本的代数方程,MATLAB和Octave有一点不同,所以我们单独讨论MATLAB和 Octave。


用MATLAB求解基本代数方程

solve函数用于求解代数方程。在最简单的形式中,solve函数将用引号括起来的方程作为参数。

例如,求解方程x-5 = 0中的x :


solve('x-5=0')
%结果:
ans =
   5

也可以写作:


y = solve('x-5 = 0')
% 结果:
y =
   5

甚至可以不包括方程的右边 :


solve('x-5')
% 结果:
ans =
   5

如果方程包含多个符号,那么MATLAB默认假设你在解x,但是,解函数有另一种形式 :


solve(equation, variable)

可以看到,表达式汇总还可以提到变量。

例如,求解  v – u – 3t2 = 0 :


solve('v-u-3*t^2=0', 'v')
% 结果
ans =
   3*t^2 + u

用Octave求解基本代数方程

在Octave中,roots函数用来解决代数方程,可以写将上面的改写如下:


roots([1, -5])
% 结果:
ans = 5

第二个例子:


y = roots([1, -5])
% 结果:
y = 5

MATLAB求解二次方程

solve函数也可以求解高阶方程。它常被用来解二次方程。该函数返回数组中方程的根。

下面的例子求解二次方程 x2 -7x +12 = 0 。创建脚本文件并键入以下代码 :


eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

结果:


The first root is: 
   3
The second root is: 
   4

Octave 求解二次方程

同样,求解二次方程 x2 -7x +12 = 0 。创建一个脚本文件,并键入以下代码 :


s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

结果:


The first root is: 
   4
The second root is: 
   3

MATLAB求解高阶方程

求解函数也可以求解高阶方程。例如,求解一个三次方程为 (x-3)2(x-7) = 0


solve('(x-3)^2*(x-7)=0')
% 结果:
ans =
   3
   3
   7

对于高阶方程,根很长,包含很多项。可以通过将这些根转换为二次方来得到它们的数值。

求解:x4 − 7x3 + 3x2 − 5x + 9 = 0.

创建脚本文件


eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% 将根转换为双精度类型
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

运行:


The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

Octave求解高阶方程

同样求解:  x4 − 7x3 + 3x2 − 5x + 9 = 0.


v = [1, -7,  3, -5, 9];
s = roots(v);

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

运行:


Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

MATLAB求解方程组

solve函数也可用于生成包含多个变量的方程组的解。让我们用一个简单的例子来演示这种用法。

求解方程组:

  • 5x + 9y = 5
  • 3x – 6y = 4

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y
% 结果:
ans =
   22/19
ans =
   -5/57

用同样的方法,你可以解更大的线性方程组,比如:

  • x + 3y -2z = 5
  • 3x + 5y + 6z = 7
  • 2x + 4y + 3z = 8

Octave方程组的求解

我们有一种不同的方法来解n个未知数的线性方程组。让我们用一个简单的例子来演示这种用法。

  • 5x + 9y = 5
  • 3x – 6y = 4

这样系统的线性方程可以写成一个矩阵方程Ax = b,其中一个是系数矩阵,b是包含右边的列向量的线性方程,x是列向量表示的一个列向量如下所示的程序


A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b
% 结果
ans =
   1.157895
  -0.087719

MATLAB展开和合并方程

expandcollect函数分别展开收集方程。下面用一个例子来说明:

当使用许多符号函数时,应该声明变量是符号的。
创建一个脚本文件,并键入以下代码


syms x   %符号变量 x
syms y   %符号变量 y
% 展开方程
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% 合并方程
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

运行:


ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

MATLAB展开和合并方程

需要有symbolic包,以提供expandcollect函数来展开和收集等式。下面用一个例子来说明-的概念。

当使用许多符号函数时,应该声明变量是符号的,但Octave有不同的方法来定义符号变量。注意SinCos的使用,它们也是在符号包中定义的。

创建脚本文件 :


% 首先加载软件包,确保已安装。
pkg load symbolic

% 激活符号模块可用
symbols

% 定义符号变量
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% 展开方程
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% 合并方程
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

运行:


ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x))

代数表达式的分解和简化

factor函数分解表达式,简化函数简化表达式。下面用一个例子来说明-这个概念

实例


syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

运行


ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4



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